题目
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.
(1)求a的值;
(2)若h(x)=f(x)+b
(b为常数),试讨论函数h(x)的奇偶性.
(1)求a的值;
(2)若h(x)=f(x)+b
g(x) |
提问时间:2020-07-24
答案
(1)由题意,∵函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等,
∴f(0)=g(0),即|a|=1,又a>0,故a=1.(4分)
(2)h(x)=f(x)+b
=|x-1|+b|x+1|,其定义域为R,(8分)
∴h(-x)=|x+1|+b|x-1|.
若h(x)为偶函数,即h(x)=h(-x),则有b=1,此时h(2)=4,h(-2)=4,
故h(2)≠-h(-2),即h(x)不为奇函数;
若h(x)为奇函数,即h(x)=-h(-x),则b=-1,此时h(2)=2,h(-2)=-2,
故h(2)≠h(-2),即h(x)不为偶函数;
综上,当且仅当b=1时,函数h(x)为偶函数,且不为奇函数,(10分)
当且仅当b=-1时,函数h(x)为奇函数,且不为偶函数,(12分)
当b≠±1时,函数h(x)既非奇函数又非偶函数.(14分)
∴f(0)=g(0),即|a|=1,又a>0,故a=1.(4分)
(2)h(x)=f(x)+b
g(x) |
∴h(-x)=|x+1|+b|x-1|.
若h(x)为偶函数,即h(x)=h(-x),则有b=1,此时h(2)=4,h(-2)=4,
故h(2)≠-h(-2),即h(x)不为奇函数;
若h(x)为奇函数,即h(x)=-h(-x),则b=-1,此时h(2)=2,h(-2)=-2,
故h(2)≠h(-2),即h(x)不为偶函数;
综上,当且仅当b=1时,函数h(x)为偶函数,且不为奇函数,(10分)
当且仅当b=-1时,函数h(x)为奇函数,且不为偶函数,(12分)
当b≠±1时,函数h(x)既非奇函数又非偶函数.(14分)
(1)利用函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等,建立方程,可求a的值;
(2)利用奇偶函数的定义,确定b的值,进而可得函数的奇偶性.
(2)利用奇偶函数的定义,确定b的值,进而可得函数的奇偶性.
二次函数的性质;带绝对值的函数.
本题考查函数的性质,考查函数的奇偶性,正确运用函数奇偶性的定义是关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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