题目

已知函数f（x）=x²-lnx．
（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调递减区间：
（3）设函数g（x）=f（x）-x²+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e为自然对数的底数）

提问时间：2020-07-24

答案

（1）∵f（x）=x²-lnx
∴f′（x）=2x-

1

x

．
∴f'（1）=1．
又∵f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=x-1．即x-y=0．
（2）因为函数f（x）=2x²-lnx的定义域为（0，+∞），
由f′（x）=2x-

1

x

＜0，得0＜x＜

2

2

．
所以函数f（x）=x²-lnx的单调递减区间是（0，

2

2

）．
（3）∵g（x）=ax-lnx，∴g′（x）=

ax−1

x

，令g′（x）=0，得x=

1

a

，
①当

1

a

≥e时，即0＜a≤

1

e

时，g′（x）=

ax−1

x

≤0在（0，e]上恒成立，
则g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
②当0＜

1

a

＜e时，即a＞

1

e

时，列表如下：

由表知，g（x）_min=g（

1

a

）=1+lna=3，a=e²，满足条件．
综上，所求实数a=e²，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．

（1）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．
（3）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数g（x）的最小值是3，即可求出a的值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．