题目
已知实数x,y满足2的(x+2)次幂加上4的y次幂等于2 的(x+2y+1)次幂,求2的x次幂+4的y次幂的最小值
提问时间:2020-07-23
答案
2^(x+2)+4^y=2^(x+2y+1)得4*2^x+4^y=2*2^x*4^y,于是有
4^y=4*2^x/(2*2^x-1)=2+1/(2^x-1/2)>0
得2^x-1/2>0或2^x-1/2-1.后者不可能.于是x>-1.
令t=2^x+4^y,则4^y=t-2^x,于是有
4*2^x+t-2^x=2*2^x*(t-2^x)得
t=[3*2^x+2*(2^x)^2]/(2*2^x-1)
令2^x=m>2^(-1)=1/2,则有
t=(3m+2m^2)/(2m-1)
=m+2+1/(m-1/2)=(m-1/2)+1/(m-1/2)+5/2
因m>1/2,故m-1/2>0,故
t=2^x+4^y=m+2+1/(m-1/2)=(m-1/2)+1/(m-1/2)+5/2≥2√[(m-1/2)*1/(m-1/2)+]+5/2=9/2
当且仅当(m-1/2)=1/(m-1/2),即2^x=m=3/2(m=-1/2舍去)时,2^x+4^y取最小值9/2.
此时,x=log(2)(3/2),y=log(4)(3)
4^y=4*2^x/(2*2^x-1)=2+1/(2^x-1/2)>0
得2^x-1/2>0或2^x-1/2-1.后者不可能.于是x>-1.
令t=2^x+4^y,则4^y=t-2^x,于是有
4*2^x+t-2^x=2*2^x*(t-2^x)得
t=[3*2^x+2*(2^x)^2]/(2*2^x-1)
令2^x=m>2^(-1)=1/2,则有
t=(3m+2m^2)/(2m-1)
=m+2+1/(m-1/2)=(m-1/2)+1/(m-1/2)+5/2
因m>1/2,故m-1/2>0,故
t=2^x+4^y=m+2+1/(m-1/2)=(m-1/2)+1/(m-1/2)+5/2≥2√[(m-1/2)*1/(m-1/2)+]+5/2=9/2
当且仅当(m-1/2)=1/(m-1/2),即2^x=m=3/2(m=-1/2舍去)时,2^x+4^y取最小值9/2.
此时,x=log(2)(3/2),y=log(4)(3)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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