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题目
数列求和 用分组求和及并项法求和 Sn=1^2-2^2+3^2-4^2+…+(-1)^(n-1)·n^2

提问时间:2020-07-22

答案
∵ Sn = 1² - 2² + 3² - 4² + … + (-1)^(n-1)·n²
∴ 当n是奇数时:
Sn = 1² - 2² + 3² - 4² + 5² - 6² + 7² - …… + n²
= [1²+2²+3²+4²+5²+ … + n²] - 2×[2²+4²+6²+8²+…+(n-1)²]
= n(n+1)(2n+1)/6 - 8×[1²+2²+3²+4²+…+((n-1)/2)²]
= n(n+1)(2n+1)/6 - 8×[(n-1)/2]×[(n-1)/2 + 1]×[(n-1) + 1]/6
= n(n+1)(2n+1)/6 - 2×(n-1)(n+1)n/6
= [n(n+1)/6]×[(2n+1) - 2×(n-1)]
= [n(n+1)/6]×[1 + 2]
= n(n+1)/2
∴ 当n是偶数时:
Sn = 1² - 2² + 3² - 4² + 5² - 6² + 7² - …… - n²
= [1²+2²+3²+4²+5²+ … + n²] - 2×[2²+4²+6²+8²+…+n²]
= n(n+1)(2n+1)/6 - 8×[1²+2²+3²+4²+…+(n/2)²]
= n(n+1)(2n+1)/6 - 8×[n/2]×[n/2 + 1]×[n + 1]/6
= n(n+1)(2n+1)/6 - 2×n(n+2)(n+1)/6
= [n(n+1)/6]×[(2n+1) - 2×(n+2)]
= [n(n+1)/6]×[1 - 4]
= -n(n+1)/2
两式合并,得:
1² - 2² + 3² - 4² + 5² - 6² + 7² - …… + n²
= [(-1)^(n+1)]×n(n+1)/2
说明:
运用了公式 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+ …… + n²= n(n+1)(2n+1)/6
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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