题目

已知方程2x²-(√3+1)x+m=0的两个根是sinθ和cosθ,且θ∈(0,2π),
求sinθ/(1-cotθ)+cosθ/(1-tanθ）的值,还有m的值,方程的两根及此时θ的值

提问时间：2020-07-21

答案

把两个根（sinθ 和 cosθ)代入方程得：
2 * (sinθ)^2 - (√3 + 1）* sinθ + m = 0 ①
2 * (cosθ)^2 - ((√3 + 1) * cosθ + m = 0 ②
② - ① 得：
2 * (cosθ)^2 - 2 * (sinθ)^2 - ((√3 + 1) * cosθ + (√3 + 1) * sinθ = 0
因为（cosθ)^2 - (sinθ)^2 = cos2θ
所以 ：2 * (cosθ)^2 - 2 * (sinθ)^2 - ((√3 + 1) * cosθ + (√3 + 1) * sinθ
= 2 * cos2θ - （√3 + 1）* （cosθ - sinθ)
又因为sinθ = - cosθ（cosθ = - sinθ）
所以 ：2 * cos2θ - （√3 + 1）* （cosθ - sinθ)
= 2 * cos2θ - (√3 + 1) * 2cosθ
= 0
所以可得：2 * cos2θ = 0 (√3 + 1) * 2cosθ = 0
cos2θ = 0 cosθ = 0
因为θ ∈ (0 ,2π )
所以θ = π/2
从而可得 m = 0
所以：sinθ/(1 - cotθ) + cosθ/(1 - tanθ)
= sin(π/2) / [1 - cot(π/2)] + cos(π/2)/[1 - tan(π/2)]
= 1/(1 - 0) + 0/(1 - 0)
= 1
不知道有没有算错 请认真检查一下 有错的话请告诉我一声