题目

已知公差不为零的等差数列{x_n}和等比数列{y_n}中，x₁=y₁=1，x₂=y₂，x₆=y₃．是否存在常数a、b，使得对于一切正整数n，都有x_n=log_ay_n+b成立？如果存在，求出a和b的值；如果不存在，请说明理由．

提问时间：2020-07-18

答案

设等差数列{x_n}的公差为d，等比数列{y_n}的公比为q，则
x₁=1，x₂=1+d，x₆=1+5d；y₁=1，y₂=q，y₂=q²，----------4分
∵x₂=y₂，x₆=y₃，
∴1+d=q，1+5d=q²，解得d=3且q=4或d=0且q=1（不符合题意舍去）
∴x_n=1+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2，y_n=y₁•q^n-1=1•4^n-1=4^n-1．----------9分
若存在实数a和b，使得x_n=log_ay_n+b成立（n∈N^*），
则3n-2=log_a4^n-1+b，（n∈N^*）
即有（3-log_a4）•n+（log_a4-b-2）=0恒成立，----------12分
∴

3−loga4＝0 log a4−b−2＝0

，解之得a=

3	4

，b=1
∴存在常数a=

3	4

，b=1，满足题设条件．-----------14分．

设{x_n}的公差为d且{y_n}的公比为q，根据题中等式建立关于d、q的方程组，解出d=3且q=4，从而得出x_n=3n-2，y_n=4^n-1．若存在实数a和b使得x_n=log_ay_n+b成立，可得3n-2=log_a4^n-1+b，化简即（3-log_a4）•n+（log_a4-b-2）=0恒成立，采用比较系数法建立关于a、b的方程组，即得存在常数a=

3	4

，b=1，满足题设条件．

本题考点：等差数列与等比数列的综合．

考点点评：本题给出等差数列与等比数列，在它们的对应项相等的情况下求通项公式并讨论一个等式恒成立的问题．着重考查了等差等比数列的通项公式、恒等式的成立和二元方程组的解法等知识，属于中档题．