题目

已知函数f(x)=loga(-x^2+ax+3)
一、已知函数f（x）=log a（-x^2+ax+3）（a＞0且a≠1）
（1）当x∈[0,2]时,函数f（x）恒有意义,求实数a的取值范围
（2）是否存在这样的实数a,使得函数f（x）在[1,2]上的最大值是2?若存在,求出a的值.
二、定义在R上的函数f（x）满足：对于任意实数a,b总有f（a+b）=f（a）·f（b）,当x＞0时,0＜f（x）＜1,且f（1）=1/2
（1）解关于x的不等式f（kx^2-5kx+6k）·f（-x^2+6x-7）＞1/4（k∈R）
（2）若x∈[-1,1],求证：（8^k+27^k+1）/3≥（6^k·f（x））/2（k∈R）

提问时间：2020-07-18

答案

一1,设g(x)=-x^2+ax+3,g(0)>0,g(2)>0 .a>1/2
2,若0f(2)
在求解下f(x)单调性
1.令b=-a,且a＞0
所以f(a)*f(-a)=f(0)=1＞0
因为f(a)＞0
所以f(-a)＞0
所以无论x取何值都有f(x)＞0
2.令a=b=0,则f(0)=f(0)*f(0),因为x≥0时,f(x)≥1,所以f(0)=1
任取m,n∈R且m小于n
所以n/m＞1
因为f[m+(n-m)]=f(m)*f(n-m)
所以f(n)/f(m)=f(n-m)
因为n-m＞0
所以f(n-m)＞1
所以f(n)/f(m)＞1
所以f(x)在R上是增函数
所以有
(k-1)x^2+(6-5k)+(6k-7)>2
在求解即可,需要对k讨论.
2由单调性奇偶性得出.x∈[-1,1],f(x)值域,右边范围在求出,在结合左边比较可得证,限于篇幅不多赘述了.我把所证变形下看的清楚些.f(x)《g（k）,g（k）=（2/3)*[(8^k+27^k+1)/6^k],其中f(x),g(k)都是由单调性分别给出f(x)max,g（k）min,由f(x)max《g（k）min即的所证