题目

已知函数f(x)=2msin2x-2

3

msinx•cosx+n的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，4]．试求函数g（x）=msinx+2ncosx（x∈R）的最小正周期和最值．

提问时间：2020-07-18

答案

f(x)=-

3

msin2x-mcos2x+m+n=-2msin(2x+

π

6

)+m+nx∈[0，

π

2

]
⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]⇒sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
当m＞0时，f（x）_max=-2m(-

1

2

)+m+n=4，f（x）_min=-m+n=-5
解得m=3，n=-2，
从而，g（x）=3sinx-4cosx=5sin（x+φ）（x∈R），
T=2π，最大值为5，最小值为-5；
当m＜0时，解得m=-3，n=1，
从而，g(x)=-3sinx+2cosx=

13

sin(x+φ)，T=2π，最大值为

13

，
最小值为-

13

．

由辅助解公式，正弦型函数的性质，根据函数f(x)=2msin2x-2

3

msinx•cosx+n的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，4]．我们易构造关于m，n的方程组，解方程组即可得到函数g（x）=msinx+2ncosx的解析式，进而得到函数g（x）=msinx+2ncosx（x∈R）的最小正周期和最值．

本题考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题考查三角函数的运算．考查的知识点有和差化积、周期与三角函数值域的求法、分类讨论的思想方法．近几年三角运算一直是考试所要求的基本题型之一，本题就是基于这一要求而制定的．