题目

已知f（x）=4x+ax2−

2

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x3(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-07-18

答案

f′（x）=4+2ax-2x²，
∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立，
设g（x）=x²-ax-2，则

g(−1)＝1+a−2≤0 g(1)＝1−a−2≤0

，解得-1≤a≤1．
故实数a的取值范围是[-1，1]．

f（x）在区间[-1，1]上是增函数⇔f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立，设g（x）=x²-ax-2，利用二次函数的单调性即可得出．

本题考点：函数的单调性与导数的关系．

考点点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．