题目

设函数f(x)=ax-b/x,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程未7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
好人一生平安啊...

提问时间：2020-07-18

答案

1、切线斜率为：7/4
f '(x)=a+b/x²,则f '(2)=a+b/4=7/4 (1)
将x=2代入7x-4y-12=0,解得：y=1/2
则f(2)=1/2,即：2a-b/2=1/2 (2)
联立(1),(2)解得：a=1,b=3
因此f(x)=x-3/x
2、设(c,d)为f(x)上任一点,切线斜率为：1+3/c²,且d=c-3/c
切线方程为：y-d=(1+3/c²)(x-c),即：y-c+3/c=(1+3/c²)(x-c)
与x=0交点为：将x=0代入得 y-c+3/c=(1+3/c²)(-c),则y=-6/c
与y=x的交点：将x=y代入得 y-c+3/c=(1+3/c²)(y-c),则y=2c
三角形面积为：(1/2)|-6/c||2c|=6