题目

已知（

x

+

2

x2

）ⁿ的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为14：3．
（1）求正自然数n的值；     
（2）求展开式中的常数项．

提问时间：2020-07-18

答案

（1）由题意C_n⁴：C_n²=14：3，化简得n²-5n-50=0，∴n=10，或n=-5（舍去），
∴正自然数n的值为10．
（2）∵展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 10

•2^r•x5−

5r

2

，令5-

5r

2

=0，求得r=2，
∴常数项为第3项T₃=T₂₊₁=2²•C₁₀²=180．

（1）直接利用条件可得意C_n⁴：C_n²=14：3，化简得n²-5n-50=0，由此求得n=10．
（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．

本题考点：二项式定理的应用．

考点点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．