题目
如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为点A(-2,3),且抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B(0,2).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是x轴上任意一点,则当PA-PB最大时,求点P的坐标.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是x轴上任意一点,则当PA-PB最大时,求点P的坐标.
提问时间:2020-07-18
答案
(1)∵抛物线的顶点坐标为A(-2,3),∴可设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3.
由题意得:a(0+2)2+3=2,解得:a=-
.
∴物线的解析式为y=-
(x+2)2+3,即y=-
x2-x+2.
(2)设存在符合条件的点P,其坐标为(p,0),则
PA2=(-2-p)2+32,PB2=p2+22,AB2=(3-2)2+22=5
当PA=PB时,(-2-p)2+32=p2+22,解得:p=-
;
当PA=AB时,(-2-p)2+32=5,方程无实数解;
当PB=AB时,p2+22=5,解得p=±1.
∴x轴上存在符合条件的点P,其坐标为(-
,0)或(-1,0)或(1,0).
(3)∵PA-PB≤AB,
∴当A、B、P三点共线时,可得PA-PB的最大值,这个最大值等于AB,此时点P是直线AB与x轴的交点.
设直线AB的解析式为y=kx+b,则:
,解得
.
∴直线AB的解析式为y=-
x+2,
当y=-
x+2=0时,解得x=4.
∴当PA-PB最大时,点P的坐标是(4,0).
由题意得:a(0+2)2+3=2,解得:a=-
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∴物线的解析式为y=-
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(2)设存在符合条件的点P,其坐标为(p,0),则
PA2=(-2-p)2+32,PB2=p2+22,AB2=(3-2)2+22=5
当PA=PB时,(-2-p)2+32=p2+22,解得:p=-
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当PA=AB时,(-2-p)2+32=5,方程无实数解;
当PB=AB时,p2+22=5,解得p=±1.
∴x轴上存在符合条件的点P,其坐标为(-
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(3)∵PA-PB≤AB,
∴当A、B、P三点共线时,可得PA-PB的最大值,这个最大值等于AB,此时点P是直线AB与x轴的交点.
设直线AB的解析式为y=kx+b,则:
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∴直线AB的解析式为y=-
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当y=-
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∴当PA-PB最大时,点P的坐标是(4,0).
(1)通过读题可以看出抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为点A(-2,3),且经过B点,所以直接将抛物线的解析式设为顶点式,然后代入B点的坐标求解即可.
(2)首先设出P点的坐标,根据坐标系两点间的距离公式分别求出PA、PB、AB的长度(或表达式),然后分PA=PB、PA=AB、PB=AB三种情况列方程求解即可.
(3)当P、A、B三点不共线时,PA-PB<AB(三角形三边关系定理),三点共线时,PA-PB=AB,综合来看:PA-PB≤AB,所以当PA-PB的值最大时,P、A、B三点共线,因此只需求出直线AB的解析式,该直线与x轴的交点即为符合条件的P点.
(2)首先设出P点的坐标,根据坐标系两点间的距离公式分别求出PA、PB、AB的长度(或表达式),然后分PA=PB、PA=AB、PB=AB三种情况列方程求解即可.
(3)当P、A、B三点不共线时,PA-PB<AB(三角形三边关系定理),三点共线时,PA-PB=AB,综合来看:PA-PB≤AB,所以当PA-PB的值最大时,P、A、B三点共线,因此只需求出直线AB的解析式,该直线与x轴的交点即为符合条件的P点.
二次函数综合题.
此题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定、三角形三边关系定理等重要知识;(2)题应注意等腰三角形的腰和底没有明确告知,所以要分情况进行讨论;最后一题中,找出PA-PB值最大时点P的位置是解决问题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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英语翻译
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