题目

已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线直线y=2x+1截得的弦长为

15

，求抛物线的方程______．

提问时间：2020-07-18

答案

设直线与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
设抛物线的方程为y²=2px，与直线y=2x+1联立，消去y得4x²-（2p-4）x+1=0，则x₁+x₂=

p−2

2

，x₁•x₂=

1

4

．
|AB|=

1+4

|x₁-x₂|=

5

•

( p−2 2 )2−4• 1 4

=

15

，
化简可得p²-4p-12=0，
∴p=-2，或6
∴抛物线方程为y²=-4x，或y²=12x．
故答案为：y²=-4x，或y²=12x．

设出抛物线的方程，直线与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x₁+x₂，x₁•x₂的值，利用弦长公式求得|AB|，由AB=

15

可求p，则抛物线方程可得．

本题考点：抛物线的简单性质．

考点点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用．