题目

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝

3

4

(a2+b2−c2)．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．

提问时间：2020-07-18

答案

（Ⅰ） 由题意可知

1

2

absinC=

3

4

×2abcosC．
所以tanC=

3

．
因为0<C<π，
所以C=

π

3

；
（Ⅱ） 由已知sinA+sinB
=sinA+sin（π-C-A）
=sinA+sin（

2π

3

-A）
=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

）≤

3

．
当△ABC为正三角形时取等号，
所以sinA+sinB的最大值是

3

．

（1）根据三角形的面积公式题中所给条件可得S＝

3

4

(a2+b2−c2)=

1

2

absinC，可求出tanC的值，再由三角形内角的范围可求出角C的值．
（2）根据三角形内角和为180°将角AB转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理可得答案．

本题考点：余弦定理的应用．

考点点评：本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力．