题目
已知函数f(x)=1/2x^2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)=3x,其中a∈R且a>1 (1)求函数f(x)的导函数
已知函数f(x)=1/2x^2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)=3x,其中a∈R且a>1
(1)求函数f(x)的导函数的最小值
(2)当a=3求函数的单调区间及极值.
(3)若对任意的x1 x2∈(0,+∞)且x1≠x2,函数h(x)满足[]h(x1)-h(x2)/x1-x2]>-1,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=1/2x^2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)=3x,其中a∈R且a>1
(1)求函数f(x)的导函数的最小值
(2)当a=3求函数的单调区间及极值.
(3)若对任意的x1 x2∈(0,+∞)且x1≠x2,函数h(x)满足[]h(x1)-h(x2)/x1-x2]>-1,求实数a的取值范围
提问时间:2020-07-16
答案
(I)f′(x)=x-3+a-1 x =x+a-1 x -3,其中x>0.
因为a>1,所以a-1>0,又x>0,所以x+a-1 x -3≥2 a-1 -3,
当且仅当x= a-1 时取等号,其最小值为2 a-1 -3.…(4分)
(2)当a=3时,h(x)=1 2 x2+2lnx-3x,h′(x)=x+2 x -3=(x-1)(x-2) x .…..(6分)
x,h′(x),h(x)的变化如下表:
x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞)
h′(x) + 0 - 0 +
h(x) 递增 -5 2 递减 2ln2-4 递增
所以,函数h(x)的单调增区间是(0,1),(2,+∞);单调减区间是(1,2).
….(8分)
函h(x)在x=1处取得极大值-5 2 ,在x=2处取得极小2ln2-4.
….(10分)
(3)由题意h(x)=1 2 x2+(a-1)lnx-ax(a>0).
不妨设x1<x2,则h(x1)-h(x2) x1-x2 >-1得h(x1)+x1<h(x2)+x2.…(12分)
令F(x)=h(x)+x=h(x)=1 2 x2+(a-1)lnx-ax+x,则函数F(x)在(0,+∞)单调递增.
F′(x)=x-(a-1)+a-1 x =x2-(a-1)x+a-1 x ≥0在(0,+∞)恒成立.
即G(x)=x2-(a-1)x+a-1≥0(在0,+∞)恒成立.
因为G(0)=a-1>0,a-1 2 >0,因此,只需△=(a-1)2-4(a-1)≤0.
解得1<a≤5.
故所求实数a的取值范围1<a≤5
因为a>1,所以a-1>0,又x>0,所以x+a-1 x -3≥2 a-1 -3,
当且仅当x= a-1 时取等号,其最小值为2 a-1 -3.…(4分)
(2)当a=3时,h(x)=1 2 x2+2lnx-3x,h′(x)=x+2 x -3=(x-1)(x-2) x .…..(6分)
x,h′(x),h(x)的变化如下表:
x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞)
h′(x) + 0 - 0 +
h(x) 递增 -5 2 递减 2ln2-4 递增
所以,函数h(x)的单调增区间是(0,1),(2,+∞);单调减区间是(1,2).
….(8分)
函h(x)在x=1处取得极大值-5 2 ,在x=2处取得极小2ln2-4.
….(10分)
(3)由题意h(x)=1 2 x2+(a-1)lnx-ax(a>0).
不妨设x1<x2,则h(x1)-h(x2) x1-x2 >-1得h(x1)+x1<h(x2)+x2.…(12分)
令F(x)=h(x)+x=h(x)=1 2 x2+(a-1)lnx-ax+x,则函数F(x)在(0,+∞)单调递增.
F′(x)=x-(a-1)+a-1 x =x2-(a-1)x+a-1 x ≥0在(0,+∞)恒成立.
即G(x)=x2-(a-1)x+a-1≥0(在0,+∞)恒成立.
因为G(0)=a-1>0,a-1 2 >0,因此,只需△=(a-1)2-4(a-1)≤0.
解得1<a≤5.
故所求实数a的取值范围1<a≤5
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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