题目

已知函数f（x）=lnx−

a

x

（1）求函数f（x）的单调增区间．
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求实数a的值．

提问时间：2020-07-13

答案

∵f（x）=lnx−

a

x

∴函数的定义域为（0，+∞）
且f'（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

①当a≥0时，f'（x）≥0恒成立，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）
②当a＜0时，令f'（x）≥0，则x＞-a
∴函数f（x）的单调增区间为（-a，+∞）
（II）由（I）可知，f'（x）=

x+a

x2

①若a≥-1，则x+a≥0，则f'（x）≥0恒成立，
函数f（x）在[1，e]上为增函数
∴f（x）的最小值为：f（1）=-a=

3

2

，此时a=-

3

2

（舍去）
②若a≤-e，则f'（x）≤0恒成立，
函数f（x）在[1，e]上为减函数
∴f（x）的最小值为：f（e）=1-

a

e

=

3

2

，此时a=-

e

2

（舍去）
③若-e＜a＜-1，当1＜x＜-a时，则f'（x）＜0，
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0，
∴f（x）的最小值为：f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，此时a=-

e

综上所述：a=-

e

（1）要求函数f（x）的单调增区间，即求导函数值大于等于0的区间，我们根据求出函数导函数的解析式，结合函数的定义域，分类讨论后，即可得到答案．
（2）由（1）中函数的导函数的解析式，我们对a的取值进行分析讨论，求出对应的函数的单调区间，并分析函数f（x）在[1，e]上何时取最小值，分析后即可得到答案．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，其中根据导函数的解析式，对参数a进行分析讨论是解答本题的关键．