题目
已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0).
(1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求y=f′(x)的值域;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
(1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求y=f′(x)的值域;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
提问时间:2020-07-13
答案
(1)由已知得f′(x)=
−a.
∵函数y=f(x)的导函数是奇函数.
∴f′(-x)=-f′(x),解得a=
.故f′(x)=
−
,f′(x)=
−
,所以f′(x)∈(−
,
)
(2)由(1)f′(x)=
−a=1−
−a.
当a≥1时,f′(x)<0恒成立,
∴当a≥1时,函数y=f(x)在R上单调递减;
当0<a<1时,由f′(x)>0得(1-a)(ex+1)>1,即ex>−1+
,x>ln
,
∴当0<a<1时,y=f(x)在(ln
,+∞)内单调递增,
在(−∞,ln
)内单调递减.
故当a≥1时,函数y=f(x)在R上单调递减;
当0<a<1时,y=f(x)在(ln
,+∞)内单调递增;在(−∞,ln
)内单调递减.
ex |
ex+1 |
∵函数y=f(x)的导函数是奇函数.
∴f′(-x)=-f′(x),解得a=
1 |
2 |
ex+1−1 |
ex+1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
ex+1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)由(1)f′(x)=
ex |
ex+1 |
1 |
ex+1 |
当a≥1时,f′(x)<0恒成立,
∴当a≥1时,函数y=f(x)在R上单调递减;
当0<a<1时,由f′(x)>0得(1-a)(ex+1)>1,即ex>−1+
1 |
1−a |
a |
1−a |
∴当0<a<1时,y=f(x)在(ln
a |
1−a |
在(−∞,ln
a |
1−a |
故当a≥1时,函数y=f(x)在R上单调递减;
当0<a<1时,y=f(x)在(ln
a |
1−a |
a |
1−a |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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