题目

已知向量A=(1,0)B=(1,1)分别求让下列结论成立的实数X的值
1.(A+XB)垂直A
2.(A+XB)//(XA+B)
3.(A-XB),XA夹角是60度~
AB均为向量

提问时间：2020-07-13

答案

第一题
A+xB垂直A相当于A+xB与A的数量积为零
(A+xB).A=A.A+x(B.A)=0
1+x=0
x=-1
第二题
A+xB=(1+x,x)
xA+B=(x+1,1)
两者平行,相当于两者成比例,因此：
(1+x)-x(x+1)=0,(1+x)(1-x)=0
故x=1或x=-1
第三题
A-xB=(1-x,-x) |A-xB|=SQR((1-x)^2+x^2)=SQR(1-2x+2x^2) (用^2代表平方,SQR代表开平方)
xA=(x,0) |xA|=|x|
因为两者夹角为60度,因此：
1/2=cos(60度)=(A-xB).xA/(|A-xB||xA|)
(1-x)x/|x|SQR(1-2x+2x^2) = 1/2
2x(1-x) = |x|SQR(1-2x+2x^2)
两边平方：
4x^2(1-x)^2 = x^2 (1-2x+2x^2)
因为x=0不符合题意（这时xA=0,而零向量与任意向量的夹角没有定义）因此两边可约x^2得
4(1-x)^2=1-2x+2x^2,2x^2-6x+3=0
(x-3/2)^2=3/4,x=(3±SQR(3))/2
根据题意有(A-xB).xA=(1-x)x>0,故应舍去+号得
x=(3-SQR(3))/2