题目
a的a次方b的b次方c的c次方大于等于abc的三分之a加b加c次方,如何证明?
提问时间:2020-07-13
答案
条件不足,应限制为:a、b、c都是正数.
证明如下:
1、如果a>b,那么:a-b>0,且(a/b)>1,
∴此时(a/b)^(a-b)>1.
2、如果a=b,那么:a-b=0,且(a/b)=1,
∴此时(a/b)^(a-b)=1.
3、如果a<b,那么:b-a>0,且(b/a)>1,
∴此时(a/b)^(a-b)=[(b/a)^(-1)]^[-(b-a)]=(b/a)^(b-a)>1.
∴无论a、b的大小如何,都有:(a/b)^(a-b)≥1,∴[(a/b)^a]/[(a/b)^b]≥1,
∴(a/b)^a≥(a/b)^b,∴a^a/b^a≥a^b/b^b,∴a^a×b^b≥a^b×b^a.
同理,有:a^a×c^c≥a^c×c^a, c^c×b^b≥c^b×b^c.
∴(a^a×b^b)(a^a×c^c)(c^c×b^b)≥(a^b×b^a)(a^c×c^a)(c^b×b^c),
∴(a^a×b^b×c^c)^2≥a^(b+c)×b^(a+c)×c^(a+b),
∴(a^a×b^b×c^c)^3≥a^(a+b+c)×b^(a+b+c)×c^(a+b+c)=(abc)^(a+b+c)
∴a^a×b^b×c^c≥√[(abc)^(a+b+c)]=(abc)^[(a+b+c)/3].
即:a^a×b^b×c^c≥(abc)^[(a+b+c)/3].
证明如下:
1、如果a>b,那么:a-b>0,且(a/b)>1,
∴此时(a/b)^(a-b)>1.
2、如果a=b,那么:a-b=0,且(a/b)=1,
∴此时(a/b)^(a-b)=1.
3、如果a<b,那么:b-a>0,且(b/a)>1,
∴此时(a/b)^(a-b)=[(b/a)^(-1)]^[-(b-a)]=(b/a)^(b-a)>1.
∴无论a、b的大小如何,都有:(a/b)^(a-b)≥1,∴[(a/b)^a]/[(a/b)^b]≥1,
∴(a/b)^a≥(a/b)^b,∴a^a/b^a≥a^b/b^b,∴a^a×b^b≥a^b×b^a.
同理,有:a^a×c^c≥a^c×c^a, c^c×b^b≥c^b×b^c.
∴(a^a×b^b)(a^a×c^c)(c^c×b^b)≥(a^b×b^a)(a^c×c^a)(c^b×b^c),
∴(a^a×b^b×c^c)^2≥a^(b+c)×b^(a+c)×c^(a+b),
∴(a^a×b^b×c^c)^3≥a^(a+b+c)×b^(a+b+c)×c^(a+b+c)=(abc)^(a+b+c)
∴a^a×b^b×c^c≥√[(abc)^(a+b+c)]=(abc)^[(a+b+c)/3].
即:a^a×b^b×c^c≥(abc)^[(a+b+c)/3].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点
- 1AB两地相距190千米,甲乙两人同时骑车由两地相向而行,5小时在途中相遇,如果两人同时由A向B出发,5小时后
- 2成等差数列的三个数x、y、z,其和为45,且x+y,y+z,z+x成等比数列,求此三数.
- 3试比较:a+b与a-b.
- 4地球上近50年有多少物种在消失?
- 5关于这个 to ,用法怎么很奇怪
- 6在探究电阻一定时,电阻上的电流跟两端电压的关系的过程中,使用滑动变阻器的目的是_______,__________.
- 7恩格尔系数的变化趋势有什么意义
- 8你知道哪些动植物身上的"生物钟"
- 9He( )know the answer,but I am not sure.
- 10(1+6%)x+(12200-x)*(1-5%)-12200=5 x=?