题目

设数列｛an｝的前n项和为Sn=2n²,｛bn｝为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1,
1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式
2）设cn=an/bn,求数列｛cn｝的前n项和Tn

提问时间：2020-06-29

答案

(1)当n=1时,a1=S1=2*1^2=2；
当n>1时,Sn=2*n^2,S(n-1)=2*(n-1)^2=2*(n^2-2*n+1)=2n^2-4n+2
则an=Sn-S(n-1)=2n^2-(2n^2-4n+2)=4n-2.
∵a1=2=4*1-2,符合上式
∴数列{an}的通向公式an=4n-2=2(2n-1).
∴a2=4*2-2=6
∵b1=a1=2,b2(a2-a1)=b1
∴b2=b1/(a2-a1)=2/(6-2)=1/2
∵数列{bn}是等比数列
∴公比q=b2/b1=(1/2)/2=1/4.
∴bn=b1*q^(n-1)=2*(1/4)^(n-1).
(2)∵cn=an/bn=(2n-1)/(1/4)^(n-1)=(2n-1)*4^(n-1).
∴Tn=4^0+3*4^1+5*4^2+…+(2n-1)*4^(n-1)
4Tn= 4^1+3*4^2+…+(2n-3)*4^(n-1)+(2n-1)*4^n
两式相减,得：
-3Tn=1+2*4^1+2*4^2+…+2*4^(n-1)-(2n-1)*4^n
=1+2*4*[1-4^(n-1)]/(1-4)-(2n-1)*4^n
=1+(8/3)[4^(n-1)-1]-(2n-1)*4^n
=(8/3)*4^(n-1)-5/3-(2n-1)*4^n
∴Tn=(2n-1)*4^n/3-(8/9)*4^(n-1)+5/9.