题目

1设f（x）是定义在实数集R上的函数,满足f（0）=1,且对任意实数a,b
有f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1）求f（x）
2.函数f（x）（x属于（-1,1））满足2f（x）-f（-x ）=lg（x+1）,求f（x ）
主要是第二题

提问时间：2020-06-28

答案

1设f（x）是定义在实数集R上的函数,满足f（0）=1,且对任意实数a,b,有f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1）求f（x）
解析：∵f(x)定义域为R,满足f(0)=1,且对任意实数a,b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)
令a=b=x
∴f(a-a)=f(a)-a(2a-a+1)==>1=f(a)-2a^2+a^2-a==>f(a)=a^2+a+1
∴f(x)=x^2+x+1
2.函数f（x）（x属于（-1,1））满足2f（x）-f（-x ）=lg（x+1）,求f（x ）
解析：∵函数f(x)（x∈(-1,1)）满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1) （1）
令x=-x
则,2f(-x)-f(x)=lg(1-x) （2）
(1)+(2)得f(x)+f(-x)=lg(1-x^2) (3)
(1)+(3)得3f(x)=lg[(1-x^2)(x+1)]=lg(1+x-x^2-x^3)
∴f(x)=1/3lg(1+x-x^2-x^3)