题目

关于x的不等式x^2+9+|x^2-3x|>=kx在〔3,7〕上恒成立,则实数k的范围为

提问时间：2020-06-27

答案

解x^2-3x≥0得x≤0或x≥3,所以在(3,7)上|x^2-3x|=x^2-3x；
原不等式在(3,7)上等价于
2x^2-(3+k)x+9≥0,
令f(x)=2x^2-(3+k)x+9,
则按对称轴x=(3+k)/4与区间(3,7)的位置关系,
分三类讨论：
①当(3+k)/4≤3,即k≤9时,f(3)≥0,解得k≤6,取交集k≤6；
②当3≤(3+k)/4≤7,即9≤k≤25时,超出(3,7)的范围,不予讨论；
③当(3+k)/4≥7时,即k≥25时,超出讨论范围.
综上,k≤6.