题目

已知偶函数y=f(x)定义域是[-3,3],当x≤0时,f(x)=-x^2-2x
①写出函数y=f(x)的解析式；
②求函数y=f(x)的值域；
③写出函数y=f(x)的单调递增区间

提问时间：2020-06-25

答案

(1)∵f(x)是偶函数 ∴f(-x)=f(x)
当x∈[0,3]时,-x∈[-3,0],f(-x)=-(-x)^2-2(-x)=-x^2+2x
f(x)=f(-x)=-x^2+2x
∴y=f(x)的解析式是
当x∈[0,3]时,f(x)=-x^2+2x
当x∈[-3,0]时,f(x)=-x^2-2x
（2）
当x∈[0,3]时,f(x)=-x^2+2x=-(x-1)^2+1∈[-3,1]
当x∈[-3,0]时,f(x)=-x^2-2x=-(x+1)^2+1∈[-3,1]
P.S.上述两个相等是显然的,因为f(x)是偶函数,f(x)关于y轴对称
∴f(x)的值域为[-3,1]
（3）
∵f(x)是偶函数,关于y轴对称
∴只需研究x∈[0,3]的部分
f(x)=-x^2+2x=-(x-1)^2+1
根据二次函数的单调性可得,
x∈[0,3]时,
f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减
再由f(x)的偶函数的性质,可得
f(x)在[-1,0]上单调递减,在[-3,-1]上单调递增
以上就是f(x)在其定义域[-3,3]上的单调区间.