题目

在四棱柱P-ABCD中 底面ABCD为矩形 侧棱PA⊥底面ABCD AB=根号3 BC=1 PA=2 E为PD的中点 向量法
（1）求AC与PB所成角的余弦值
（2）在侧面PAB中 找一点N 使NE⊥面PAC

提问时间：2020-06-25

答案

以A点为原点建立直角坐标系,图略.
(1)则有各点坐标A(0, 0, 0), C(根号3, 1, 0), B(根号3, 0, 0), P(0, 0, 2), E((0, 1/2, 1)
所以向量AC=(根号3, 1, 0),向量PB=(根号3, 0, -2)
由向量乘法公式,AC点乘PB=|AC||PB|cosθ（设θ为两向量夹角）
所以cosθ=AC点乘PB/(|AC||PB|)=3/(2*根号7)=3根号7/14
所以θ=arccos((3倍根号7)/14)
(2)设N点坐标为(x, 0, z),则向量EN=(x, -1/2, z-1).
要使EN⊥面PAC,只需垂直于面内两条直线即可.向量AP=(0, 0, 2),向量AC=(根号3, 1, 0)
EN点乘AP=2(z-1)=0（向量点乘为0即垂直） => z=1
EN点乘AC=根号3倍x-1/2=0 => x=1/2除以根号3=根号3/6
所以N点坐标为(根号3/6, 0, 1), 解毕.
要点：向量点乘公式、直线垂直于直线的向量计算公式.