题目

设集合A={1,2,3,...,366},如果A的一个二元子集B={a,b}满足17|(a+b),则称B具有性质P
(1)求A的具有性质P的二元子集数
（2）若A的一组二元子集两两不相交且具有性质P,则这组二元子集的子集个数最多是多少?

提问时间：2020-06-24

答案

1）将A以被17除余数为0~16分成17组：
第1组余数为1：{1,18,..,358.},共22个数
.
第9组余数为9：{9,26,...,366},共22个数
第10组余数为10：{10,27,...,350},共21个数
.
第16组余数为16：{16,33,.356},共21个数
第17组余数为0：{17,34,.,357},共21个数
具有性质P,则只能是
1,16组配对各取1个,有22*21=462种取法
2,15组配对各取1个,有462种取法
...
7,10组配对各取1个,有462种取法
8,9组配对各取1个,有22*22=484种取法
17组中取2个,有21*20/2=210种取法
因此子集个数=462*7+484+210=3928.
2）不相交的取法：
1,16组配对各取1个,最多有21组
2,15组配对各取1个,最多有21组
...
7,10组配对各取1个,最多有21组
8,9组配对各取1个,最多有22组
17组中取2个为1组,最多有10组
因此这样的子集最多有21*7+22+10=179个