题目
已知函数f(x)=xlnx+(a-1)x(a∈R).
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[
1 |
e |
提问时间:2020-06-24
答案
(1)当a=1时,f(x)=xlnx,则求导函数,可得f′(x)=lnx+1.
x=1时,f′(1)=1,f(1)=0,
∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x-1,即x-y-1=0
(2)f′(x)=lnx+a=0,可得x=e-a,则函数在(0,e-a)上单调递减,在(e-a,+∞)上单调递增,
若e<e-a,则函数f(x)在区间[
,e]上的最小值为f(e)=ae;
若
≤e-a≤e,则函数f(x)在区间[
,e]上的最小值为f(e-a)=-e-a;
若
>e-a,则函数f(x)在区间[
,e]上的最小值为f(
)=
;
(3)f(x)=2x3-3x2等价于xlnx+(a-1)x=2x3-3x2,即lnx+(a-1)=2x2-3x,
∴a=2x2-3x+1-lnx在区间[
,2]上有两个不相等的实数根,
令g(x)=2x2-3x+1-lnx,则g′(x)=4x-3-
=
∵x∈[
,2],
∴函数在[
,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
∵g(
)=ln2,g(1)=0,g(2)=3-ln2,
∴a=2x2-3x+1-lnx在区间[
,2]上有两个不相等的实数根,应满足0<a≤ln2.
x=1时,f′(1)=1,f(1)=0,
∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x-1,即x-y-1=0
(2)f′(x)=lnx+a=0,可得x=e-a,则函数在(0,e-a)上单调递减,在(e-a,+∞)上单调递增,
若e<e-a,则函数f(x)在区间[
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e |
若
1 |
e |
1 |
e |
若
1 |
e |
1 |
e |
1 |
e |
a |
e |
(3)f(x)=2x3-3x2等价于xlnx+(a-1)x=2x3-3x2,即lnx+(a-1)=2x2-3x,
∴a=2x2-3x+1-lnx在区间[
1 |
2 |
令g(x)=2x2-3x+1-lnx,则g′(x)=4x-3-
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x |
(4x+1)(x−1) |
x |
∵x∈[
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∴函数在[
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∵g(
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2 |
∴a=2x2-3x+1-lnx在区间[
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2 |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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