题目
设n和k都是自然数,其中k≥2,证明:n^k可以写成n个连续奇数之和
提问时间:2020-12-13
答案
设第一个奇数为a
则 n^k=a+(a+2)+(a+4)+[a+2(n-1)]=na+[2+4+...+2(n-1)]=na+n(n-1)=n(a+n-1)
n^(k-1)=a+n-1
a=n^(k-1)-n+1
由于k>=2,因此k-1>=1,而且是自然数,于是 n^(k-1)-n>0,因此n^(k-1)-n+1是个自然数.
这就是说,我们只要取第一个奇数为 n^(k-1)-n+1,则由它开始,连续n个奇数的和恰好等于n^k
则 n^k=a+(a+2)+(a+4)+[a+2(n-1)]=na+[2+4+...+2(n-1)]=na+n(n-1)=n(a+n-1)
n^(k-1)=a+n-1
a=n^(k-1)-n+1
由于k>=2,因此k-1>=1,而且是自然数,于是 n^(k-1)-n>0,因此n^(k-1)-n+1是个自然数.
这就是说,我们只要取第一个奇数为 n^(k-1)-n+1,则由它开始,连续n个奇数的和恰好等于n^k
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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