题目

函数f（x）=（e）^x/a+a/（e）^x（a＞0）a∈R是R上的偶函数①求a值②证明函数f（x）在[0,+∞)上是增函数

提问时间：2020-06-23

答案

证明：
1）
f(x)=(e^x)/a+a/e^x,a>0
因为：e^x>0恒成立
所以：f(x)>0,定义域为实数范围R
f(x)是偶函数,则有：
f(-x)=[e^(-x)]/a+a*e^(x)=f(x)=(e^x)/a+a/e^x
所以：
(a-1/a)e^(-x)+(1/a-a)e^x=0
(a-1/a)(1/e^x+e^x)=0恒成立
所以：a-1/a=0,a=1/a>0
解得：a=1
2）
f(x)=e^x+1/e^x>=2√[e^x/e^x)=2
当且仅当e^x=1/e^x即e^x=1即x=0时取得最小值
e^x>1时,f(x)是增函数
所以：
f（x）在[0,+∞)上是增函数