题目

已知函数f(x)=a^x-2√4-a^x-1 (a>0且a≠1) 求定义域、值域 当x≤1时f(x）≤0恒成立,求a范围
中间项是2乘根号下4减a的x次方.
根号里没有减1

提问时间：2020-06-20

答案

(1)令y=f(x),√(4-a^x)=t,则a^x=4-t^2
由4-a^x≥0得a^x≤4
当0当a>1时x≤log(a)4
由于a^x>0
则0≤4-a^x<4
即0≤t<2
y=-t^2-2t+3=-(t+1)^2+4
故-5因此：当0当a>1时f(x)的定义域为（-∞,log(a)4],值域为（-5,3].
(2)由于y=-t^2-2t+3=-(t+1)^2+4（0≤t<2）图像与t轴交点为（1,0）
可见当1≤t<2时y≤0,当0≤t<1时y>0.
① 当0若x≤1 则a^x≥a,4-a^x≤4-a,t≤√(4-a)
即“当x≤1时f(x）≤0恒成立”等价于“当t≤√(4-a)时y≤0恒成立”,
显然此时y≤0不可能恒成立.
②当a>1时
若x≤1 则a^x≤a,4-a^x≥4-a,t≥√(4-a)
即“当x≤1时f(x）≤0恒成立”等价于“当t≥√(4-a)时y≤0恒成立”,
因此1≤√(4-a)<2
解之得0由于a>1则1总之a的取值范围为（1,3]