题目

已知幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈Z）满足f（2）＜f（3）．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-06-19

答案

（1）对于幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}满足f（2）＜f（3），
因此（2-k）（1+k）＞0，
解得-1＜k＜2，
因为k∈Z，
所以k=0，或k=1，
当k=0时，f（x）=x²，
当k=1时，f（x）=x²，
综上所述，k的值为0或1，f（x）=x²．
（2）函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x
=-mx²+（2m-1）x+1，
因为要求m＞0，因此抛物线开口向下，
对称轴x=

2m−1

2m

，
当m＞0时，

2m−1

2m

=1-

1

2m

＜1，
因为在区间[0，1]上的最大值为5，
所以

1− 1 2m ＞0 g(1− 1 2m )＝5

或

1− 1 2m ≤0 g(0)＝5

解得m=

5

2

+

6

满足题意．

（1）对于幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}满足f（2）＜f（3），代入结合k∈Z可求k的值
（2）由（1）可得函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x=-mx²+（2m-1）x+1，由m＞0，因此抛物线开口向上，对称轴x=

2m−1

2m

＜1，若函数在区间[0，1]上的最大值为5，
则

1− 1 2m ＞0 g(1− 1 2m )＝5

或

1− 1 2m ≤0 g(0)＝5

解方程可求m

本题考点：指数函数综合题．

考点点评：本题主要考查了幂函数的定义的应用，二次函数在闭区间上的最值的求解，注意分类讨论思想在解题中的应用．