题目

对于数列{Xn},若X(2k-1)的极限=a,且 X(2k)的极限为a,a为常数,证明Xn的极限是a.
2k-1 和 2k 都是数列的下标,也就是这个数列的奇数列的极限是a,偶数列的极限是a,证明原数列的极限是a.

提问时间：2020-06-18

答案

用极限的定义证明：
对任意ε＞0,存在K1∈N使得k＞K1时总有│x(2k-1)-a│＜ε
对任意ε＞0,存在K2∈N使得k＞K2时总有│x(2k)-a│＜ε
取N=max{2K1-,2K2},于是对任意ε＞0,存在自然数N使得n＞N时总有
│x(n)-a│＜ε
于是Xn的极限是a