题目

已知函数f（x）=x²-ax+a．设p：方程f（x）=0有实数根；q：函数f（x）在区间[1，2]上是增函数．若p和q有且只有一个正确，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-06-17

答案

若p真，即方程f（x）=0有实数根，
则△=a²-4a≥0⇔a≤0，或a≥4；…（2分）
若q真，即函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
则区间[1，2]在对称轴的右边即

a

2

≤1⇒a≤2…（3分）
因为p和q有且只有一个正确，所以p，q中一真一假．
若p真q假，则

a≤0，或a≥4 a＞2

⇒a≥4；
若p假q真，则

0＜a＜4 a≤2

⇒0＜a≤2．…（7分）
所以实数a的取值范围为（0，2]∪[4，+∞）…（8分）

首先考虑命题p，q均为真命题，求出a的取值范围，再根据p，q中一真一假，分别求出a的取值范围，最后求并集．

本题考点：命题的真假判断与应用．

考点点评：本题主要考查命题的真假判断和应用，同时考查函数的单调性和集合、不等式的运算，是一道基础题．