题目

已知如图，椭圆方程为

x2

16

+

y2

b2

=1（4>b>0）．P为椭圆上的动点，
F₁、F₂为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F₁作∠F₁PF₂的外角
平分线的垂线F₁M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．

（1）求M点的轨迹T的方程；
（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S_△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

提问时间：2020-06-17

答案

（1）当点P不在x轴上时，延长F₁M与F₂P的延长线相交于点N，连接OM，
∵∠NPM=∠MPF₁，∠NMP=∠PMF₁
∴△PNM≌△PF₁M
∴M是线段NF₁的中点，|PN|=|PF₁||（2分）
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

（|F₂P|+|PN|）=

1

2

（|F₂P|+|PF₁|）
∵点P在椭圆上
∴|PF₂|+|PF₁|=8∴|OM|=4，（4分）
当点P在x轴上时，M与P重合
∴M点的轨迹T的方程为：x²+y²=4²．（6分）
（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点
A（-4，0），B（4，0）满足S_△OEA=S_△OEB=2，
分别过A、B作直线OE的两条平行线l₁、l₂．
∵同底等高的两个三角形的面积相等
∴符合条件的点均在直线l₁、l₂上．（7分）
∵kOE=

1

2

∴直线l₁、l₂的方程分别为：y=

1

2

(x+4)、y=

1

2

(x-4)（8分）
设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，
∴x²+y²<16（9分）
分别解

x2+y2<16 y= 1 2 (x+4)

与

x2+y2<16 y= 1 2 (x-4)

得-4<x<2

2

5

与-2

2

5

<x<4（11分）
∵x，y∈Z
∴x为偶数，在(-4，2

2

5

)上x=-2，，0，2对应的y=1，2，3
在(-2

2

5

，4)上x=-2，0，2，对应的y=-3，-2，-1（13分）
∴满足条件的点Q存在，共有6个，
它们的坐标分别为：（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．（14分）

（1）延长F₁M与F₂P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF₁的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；
（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（-4，0），B（4，0）满足S_△OEA=S_△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l₁、l₂上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．

本题考点：圆与圆锥曲线的综合．

考点点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．