题目

已知函数f(x)=alnx-1/x,a为常数.（3）当x大于等于1时,f(x)小于等于2x-3恒成立,求实数a的取值范围

提问时间：2020-06-13

答案

x≥1时,f(x)≤2x-3恒成立,即
g(x)=alnx-1/x-2x+3≤0  （x≥1)
即g(x)max≤0
g'(x)=a/x-2+1/x^2=(-2x^2+ax+1)/x^2
h(x)=-2x^2+ax+1开口朝下,h(0)=1>0
h(1)=-2+a+1=a-1
当h(1)≤0时,即a≤1时,
 h(x)≤0,g'(x)≤0,g(x)是减函数
　g(x)max=g(1)=0,符合题意
当h(1)>0即a>1时,
令g'(x)=0,即 h(x)=0,
-2x^2+ax+1=0==> x0=[a+√(a²+8)]/4 (舍负）
∴1<x<x0,g'(x)>0,x>x0,g'(x)<0
∴x=x0,g(x)取得最大值,但g(1)=0
  g(x0)>g(1）,不和题意
综上所述,符合题意的a的取值范围
是a≤1