题目

在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3
（1）求点M、A、B坐标
（2）联结AB、AM、BM,求∠ABM的正切值
（3）点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P点坐标
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提问时间：2020-06-13

答案

(1)如图示：



抛物线y=x²-3向右平移一个单位得到y=(x-1)²-3＝x²-2x-2
∴M(1,-3),A(0,-2),
当x=3时,y=3²－2×3－2=1
∴B(3,1)
(2)如图：

∵M(1,-3),A(0,-2),B(3,1)
∴AM＝√[(0-1)²+(-2+3)²]=√2,
BM＝√[(3-1)²+(1+3)²]=2√5,
AB＝√[(0-3)²+(-2-1)²]=3√2,
∵AM²+AB²=(√2)²+(3√2)²=20=(2√5)²=BM²
∴△ABM是直角三角形,∠BAM＝90°
∴tan∠ABM=AM/AB=(√2)/(3√2)=1/3
(3)如图：

(3) ①当点P在X轴上方时,设点P的坐标为(x,y)
当α=∠ABM时
tanα＝tan∠ABM＝1/3,
即y/x=1/3
∴x²-2x-2/x=1/3
解得：x1=-2/3(不合,舍去),x2=3,则点P的坐标是P1(3,1),此时的点P1与B重合．
②由对称性,可得B关于X轴的对称点B′(3,-1),此时∠B′OX＝α
直线OB′的解析式是y=(-1/3)x
由{y=(-1/3)x
   y=x²-2x-2
解得：{x1=(5+√97)/6       {x2=(5-√97)/6
      y1=-(5+√97)/18        y2=-(5-√97)/18(不合,舍去)
则点P的坐标是P2[(5+√97)/6,-(5+√97)/18]
综合可得,点P的坐标是P1(3,1),P2[(5+√97)/6,-(5+√97)/18].