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> 已知关于x的一元二次方程ax2+2bx+c=0(a>0)①. (1)若方程①有一个正实根c,且2ac+b<0.求b的取值范围; (2)当a=1时,方程①与关于x的方程4x2+4bx+c=0②有一个相同...
题目
已知关于x的一元二次方程ax
2
+2bx+c=0(a>0)①.
(1)若方程①有一个正实根c,且2ac+b<0.求b的取值范围;
(2)当a=1时,方程①与关于x的方程4x
2
+4bx+c=0②有一个相同的非零实根,求
8
b
提问时间:2020-06-13
答案
(1)∵c为方程的一个正实根(c>0),
∴ac
2
+2bc+c=0.
∵c>0,
∴ac+2b+1=0,即ac=-2b-1.
∵2ac+b<0,
∴2(-2b-1)+b<0.
解得
b>−
2
3
.
又∵ac>0(由a>0,c>0).
∴-2b-1>0.
解得
b<−
1
2
.
∴
−
2
3
<b<−
1
2
;
(2)当a=1时,此时方程①为x
2
+2bx+c=0.
设方程①与方程②的相同实根为m,
∴m
2
+2bm+c=0③
∴4m
2
+4bm+c=0④
④-③得3m
2
+2bm=0.
整理,得m(3m+2b)=0.
∵m≠0,
∴3m+2b=0.
解得
m=−
2b
3
.
把
m=−
2b
3
代入方程③得
(−
2
3
b
)
2
+2b(−
2
3
b)+c=0
.
∴
−
8
b
2
9
+c=0
,即8b
2
=9c.
当8b
2
=9c时,
8
b
2
−c
8
b
2
+c
=
4
5
.
故答案为:
−
2
3
<b<−
1
2
,
4
5
.
举一反三
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