题目

是否存在常数c,使得不等式(x/2x+y)+(y/x+2y)《c《(x/x+2y)+(y/2x+y),对任意正实数x,y恒成立?证明你的结论

提问时间：2020-06-13

答案

可以赋值得到C=2/3然后证明
如果不赋值也可以得到C=2/3
(x/2x+y)+(y/x+2y)
=(x²+4xy+y²)/(2x²+5xy+2y²)
=[(x²+5xy/2+y²)+3xy/2]/(2x²＋5xy＋2y²)
=1/2＋3xy/(4x²+10xy+4y²)
=1/2＋3/[4(x/y＋y/x)+10]
≤1/2+3/(4×2＋10)＝2/3
同样可以得到：
(x/x+2y)+(y/2x+y)
=(2x²+2xy+2y²)/(2x²+5xy+2y²)
=[(2x²+5xy+2y²)-3xy]/(2x²＋5xy＋2y²)
=1-3xy/(2x²+5xy+2y²)
=1-3/[2(x/y＋y/x)+5]
≥1-3/(2×2＋5)＝2/3
所以C=2/3时成立
如果赋值后得到C=2/3要证明(x/2x+y)+(y/x+2y)≤2/3
其实通分后得3(x²+4xy+y²)≤2(2x²+5xy+2y²)
整理得x²＋y²≥2xy这显然成立
证明(x/x+2y)+(y/2x+y)≥2/3
通分后3(2x²+2xy+2y²)≥2(2x²+5xy+2y²)
整理后得x²＋y²≥2xy这显然成立