题目
圆锥曲线方程的问题
椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两焦点为F₁、F₂,以F₁F₂为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为______.
椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两焦点为F₁、F₂,以F₁F₂为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为______.
提问时间:2020-06-13
答案
(根号3)-1
正三角形的边长2c,高为(根号3)c;正三角形的第三个顶点D可以是(0,正负(根号3)c);我们取D(0,(根号3)c)来讨论;
根据题意,F1D中点E(-c/2,(根号3)c/2)在椭圆上;
所以,[(-c/2)^2]/a^2 + [(根号3)c/2]^2/b^2 = 1
即:(c/a)^2 + 3*(c/b)^2=4 即:e^2+ 3*(c/b)^2=4
所以3*(c/b)^2=4-e^2,
c^2/b^2=(4-e^2)/3
b^2/c^2=3/(4-e^2)
(a^2-c^2)/c^2=3/(4-e^2)
e^(-2)-1=3/(4-e^2)
e^4-8e^2+4=0
e^2=4+2*(根号3)-------------椭圆e小于1,e^2小于1,舍去
或者e^2=4-2*根号3--------符合椭圆
e^2=4-2*根号3=1-2*(根号3)+3=(1-根号3)^2 ; 0小于e小于1,
所以e=(根号3)-1
当D为(0,-(根号3)c),类似上面计算,答案也是一样的.
正三角形的边长2c,高为(根号3)c;正三角形的第三个顶点D可以是(0,正负(根号3)c);我们取D(0,(根号3)c)来讨论;
根据题意,F1D中点E(-c/2,(根号3)c/2)在椭圆上;
所以,[(-c/2)^2]/a^2 + [(根号3)c/2]^2/b^2 = 1
即:(c/a)^2 + 3*(c/b)^2=4 即:e^2+ 3*(c/b)^2=4
所以3*(c/b)^2=4-e^2,
c^2/b^2=(4-e^2)/3
b^2/c^2=3/(4-e^2)
(a^2-c^2)/c^2=3/(4-e^2)
e^(-2)-1=3/(4-e^2)
e^4-8e^2+4=0
e^2=4+2*(根号3)-------------椭圆e小于1,e^2小于1,舍去
或者e^2=4-2*根号3--------符合椭圆
e^2=4-2*根号3=1-2*(根号3)+3=(1-根号3)^2 ; 0小于e小于1,
所以e=(根号3)-1
当D为(0,-(根号3)c),类似上面计算,答案也是一样的.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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