题目

求证：理想气体的Cp仅是温度的函数

提问时间：2020-06-13

答案

等压热容定义式 Cp=(dQ/dT)p ……1
热力学第一定律微分形式 dU=dQ-pdV ……2
焓的定义式 H=U+pV ……3
根据2和3有 dQ=dU+pdV=dH ……4
于是 Cp=dH/dT ……5
现在来证明 （dH/dp）T=0 ……6
dH=TdS+Vdp=T(dS/dT)p*dT+T(dS/dp)T*dp+Vdp ……7
根据7有 (dH/dp)T=T(dS/dp)T+V ……8
根据麦克斯韦关系有 (dS/dp)T=-(dV/dT)p ……9
根据理想气体方程 pV=nRT ……10
根据10得 (dS/dp)T=-(dV/dT)p=-nR/p ……11
将11代入8得 (dH/dp)T=T(dS/dp)T+V=T*（-nR/p）+V = -nRT/p + V = -V+V=0
即 H 只取决于热力学温度T,与压强 p 无关.
因此第5式中的等压热容 Cp=dH/dT 必然只取决于热力学温度T,与压强P无关.