题目

已知圆C:X平方+Y平方+2X-4Y+3=0.
1.若圆C的切线在X轴和Y轴上截距相等,求切线的方程.
2.从圆C外一点P(X,Y)向圆引切线PM,M为切点,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.

提问时间：2020-06-13

答案

1.圆心为C（-1,2）,半径等于 √2．
设直线方程为x+y-a=0或y=kx,则圆心C到切线的的距离等于半径,
∴√ 2= |-1+2-a|／√2,解可得a=-1或3
√ 2= |-k-2|／√k²+1,解可得k=2± √6,
故所求的切线的方程为 x+y-3=0,x+y+1=0,y=(2±√6)x．
2∵PM⊥CM,∴|PM|²=|PC|²-|CM|²,又|PM|=|PO|,
∴（x0+1）²+（y0-2）²-2=x0²+y0²,
2x0-4y0+3=0．
即动点P在直线2x-4y+3=0上,PM|的最小值就是|PO|的最小值,
过点O作直线2x-4y+3=0的垂线,垂足为P,kOP=-2
y=-2x,2x-4y+3=0,
x0=-3／10,y0=3／5,
P坐标为 (-3／10,3／5)．