题目

椭圆x²/4+y²/3=1的左右焦点分别为F1F2过椭圆的右焦点F2作一倾斜角为π/4的直线交椭圆于AB两点
①弦AB的长②△AF1B的面积③左焦点F1到弦AB中点的距离

提问时间：2020-06-10

答案

①由题意得 c=√a^2-b^2=1 ∴F2（1,0） k=tanπ/4=1
∴直线方程为y-0=1(x-1) 即y=x-1
将y=x-1代入椭圆x²/4+y²/3=1中 化简整理得7x^2-8x-8=0
所以|AB|=√1+1^2*√(8/7)^2-4*-8/7=24/7
②易求得F1到直线的距离d=|-1-1|/√1^2+(-1)^2=√2
∴S△AF1B=1/2*24/7*√2=12√2/7
③由7x^2-8x-8=0 得x1+x2=8/7 所以弦AB中点的横坐标为(x1+x2)/2=4/7
再由y1=x1-1 y2=x2-1 得y1+y2=x1+x2-2=-6/7
所以弦AB中点的纵坐标为(y1+y2)/2=-3/7
所以AB的中点坐标为（4/7,-3/7）
∴F1到AB中点的距离d=√（-1-4/7）^2+(0-(-3/7))^2=√130/7