题目

设函数f（x）在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（0，1）内，且f′（x）≠1，证明在（0，1）内有且仅有一个x，使得f（x）=x．

提问时间：2020-06-02

答案

证明：令g（x）=f（x）-x  x∈（0，1）
因为：0＜f（x）＜1
所以：g（0）=f（0）-0=f（0）＞0
g（1）=f（1）-1＜0
所以：g（0）g（1）＜0，
因为函数f（x）可微分，故f（x）连续，因此g（x）肯定连续
根据零点定理，可知，在x∈（0，1）上，至少有一个点满足：
g（ɛ）=0，ɛ∈（0，1）
即：f（ɛ）-ɛ=0，
f（ɛ）=ɛ．
假设存在两个或两个以上的点满足f（x）=x
设x₁，x₂为其中的两个点，x₁≠x₂．则有：
f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂，
既有：g（x₁）=0；
g（x₂）=0；
根据拉格朗日定理有：
g（x₂）-g（x₁）=g'（ξ）（x₂-x₁）=0   ξ∈（0，1）
因为：x₁≠x₂
所以必有：
g'（ξ）=0
因为g'（x）=f'（x）-1
即有：g'（ξ）=f'（ξ）-1=0
因此：f'（ξ）=1
与题设矛盾，故不存在两个或者两个以上的点满足f（x）=x．
综上所述：f（x）在x∈（0，1）有且仅有一个x满足f（x）=x．

令函数g（x）=f（x）-x，根据零点定理，已知g（x）有零点；在根据反证法证明g（x）至多有一个零点即可．

本题考点：A:多元函数连续、可导、可微的关系 B:连续函数的性质 C:零点定理及其推论的运用

考点点评：本题综合考察了零点定理及其推论，证明有一定的灵活性，属于中档题．