题目

已知直线y=x-1和椭圆

x2

m

+

y2

m−1

＝1（m>1）交于A、B两点，若以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，则实数m的值为 ___ ．

提问时间：2020-05-23

答案

由题意，c=

a2-b2

=1，∴F（-1，0）
直线y=x-1代入椭圆

x2

m

+

y2

m-1

=1，并整理，得（2m-1）x²-2mx+2m-m²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2m

2m-1

，x₁x₂=

2m-m2

2m-1

∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=

-m2+2m-1

2m-1

∵以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，∴

FA

•

FB

=0
∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0
∴

2m-m2

2m-1

+

2m

2m-1

+1+

-m2+2m-1

2m-1

=0
∴m²-4m+1=0
∴m=2±

3

∵m>1
∴m=2+

3

故答案为：2+

3

求出F的坐标，直线方程代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过椭圆的焦点F，利用向量的数量积公式，即可求得结论．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．