题目

怎样证明2的99次方+3的99次方能被7整除?

提问时间：2020-05-09

答案

二项式展开学过的话就简单了
2^99 + 3^99
= 8^33 + 27^33
= (1+7)^33 + (-1 + 28)^33
= (1 + 33·7 + ...+ 7^33) + (-1 + 33·28 - ...+ 28^33)
= (33·7 + ...+ 7^33) + (33·28 - ...+ 28^33)
这里的每一项都含有7或28,能被7整除,所以2^99 + 3^99能被7整除
还有一种方法：
2^99 + 3^99
= 8^33 + 27^33
而x^33 + y^33能被(x+y)整除 (当n为奇数的时候,x^n+y^n都含有因式x+y)
所以2^99 + 3^99能被35整除,所以能被7整除