题目

设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=kn²+n，n∈N^*，其中k是常数．
（Ⅰ）求a₁及a_n；
（Ⅱ）若对于任意的m∈N^*，a_m，a_2m，a_4m成等比数列，求k的值．

提问时间：2020-05-08

答案

解析：（1）当n=1，a₁=S₁=k+1，
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=kn²+n-[k（n-1）²+（n-1）]=2kn-k+1（*）．
经检验，n=1（*）式成立，
∴a_n=2kn-k+1．
（2）∵a_m，a_2m，a_4m成等比数列，
∴a_2m²=a_ma_4m，
即（4km-k+1）²=（2km-k+1）（8km-k+1），
整理得：mk（k-1）=0，对任意的m∈N^*成立，
∴k=0或k=1．