题目

设函数f(x)＝

1

3

x3−(1+a)x2+4ax+24a，其中常数a＞1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

提问时间：2020-05-07

答案

（1）f′（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），（2分）
由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜2，
令f′（x）＜0，解得2＜x＜2a，（5分）
故当a＞1时，f（x）在区间（-∞，2）和（2a，+∞）上是增函数，在区间（2，2a）上是减函数．（6分）
（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．（7分）
f(2a)＝

1

3

(2a)3−(1+a)(2a)2+4a•2a+24a=−

4

3

a3+4a2+24a＝−

4

3

a(a−6)(a+3)，f（0）=24a．（9分）
则

a＞1 f(2a)＞0 f(0)＞0

即

a＞1 − 4 3 a(a+3)(a−6)＞0 24a＞0

解得1＜a＜6，
故a的取值范围是（1，6）．（14分）

（1）先求出导函数，利用导数大于0对应的为原函数的增区间，导数小于0对应的为原函数的减区间，即可求f（x）的单调性；
（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，所以须满足最小值大于0，解不等式组

a＞1 f(2a)＞0 f(0)＞0

即可求a的取值范围．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及研究函数的单调性和函数恒成立问题，是对知识的综合考查，也是高考常考题型．