题目

题型：北京市模拟题难度：来源：

如图1所示，一端封闭的两条平行光滑长导轨相距L，距左端L处的右侧一段被弯成半径为的四分之一圆弧，圆弧导轨的左、右两段处于高度相差的水平面上。以弧形导轨的末端点O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立Ox坐标轴。圆弧导轨所在区域无磁场；左段区域存在空间上均匀分布，但随时间t均匀变化的磁场B(t)，如图2所示；右段区域存在磁感应强度大小不随时间变化，只沿x方向均匀变化的磁场B(x)，如图3所示；磁场B(t)和B(x)的方向均竖直向上。在圆弧导轨最上端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，金属棒由静止开始下滑时左段磁场B(t)开始变化，金属棒与导轨始终接触良好，经过时间t₀金属棒恰好滑到圆弧导轨底端。已知金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。
（1）求金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的感应电动势E；
（2）如果根据已知条件，金属棒能离开右段磁场B(x)区域，离开时的速度为v，求金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q；
（3）如果根据已知条件，金属棒滑行到x=x₁位置时停下来，
a. 求金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q；
b. 通过计算，确定金属棒在全部运动过程中感应电流最大时的位置。

答案

解：（1）由图2可知，
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势    ①
（2）金属棒在弧形轨道上滑行过程中，产生的焦耳热
金属棒在弧形轨道上滑行过程中，根据机械能守恒定律
   ②
金属棒在水平轨道上滑行的过程中，产生的焦耳热为，根据能量守恒定律

所以，金属棒在全部运动过程中产生的焦耳热

（3）a．根据图3，x=x₁（x₁﹤x₀）处磁场的磁感应强度。设金属棒在水平轨道上滑行时间为。由于磁场B(x)沿x方向均匀变化，根据法拉第电磁感应定律
时间内的平均感应电动势
所以，通过金属棒电荷量
b．金属棒在弧形轨道上滑行过程中，根据①式，
金属棒在水平轨道上滑行过程中，由于滑行速度和磁场的磁感应强度都在减小，所以，此过程中，金属棒刚进入磁场时，感应电流最大
根据②式，刚进入水平轨道时，金属棒的速度
所以，水平轨道上滑行过程中的最大电流
若金属棒自由下落高度，经历时间，显然t₀﹥t
所以，
综上所述，金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x= 0处，感应电流最大