题目

题型：上海模拟题难度：来源：

如图所示是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面内有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，B₁＝B₂＝1T，电梯桥厢固定在如图所示的一个用超导材料制成的金属框abcd内（电梯桥厢在图中未画出），并且与之绝缘。电梯载人时的总质量为m＝5×10³kg，所受阻力大小为F_f＝500N，金属框垂直轨道的边长为L_cd＝2m，两磁场的宽度均与金属框的边长L_ac相同，金属框整个回路的电阻为R＝1.0×10^－3Ω，问：
（1）假如两磁场始终竖直向上做匀速运动。设计要求电梯以v₁＝10m/s的速度向上匀速运动，那么，磁场向上运动的速度v₀应该为多大？
（2）假如t＝0时两磁场由静止开始向上做匀加速运动，加速度大小为a＝1.5m/s²，电梯可近似认为过一小段时间后也由静止开始向上做匀加速运动，t＝5s末电梯的速度多大？电梯运动的时间内金属框中消耗的电功率多大？从电梯开始运动到t＝5s末时间内外界提供给系统的总能量为多大？

答案

解：（1）电梯向上匀速运动时，框中感应电流大小为I＝2B₁L_cd（v₀－v₁）/R
金属框所受安培力F＝2B₁IL_cd
安培力大小与重力和阻力之和相等，所以F＝mg＋F_f
即4B₁²L_cd²（v₀－v₁）/R＝mg＋F_f
可得：v₀＝13.2m/s
（2）电梯向上匀加速运动时，金属框中感应电流大小为I＝2B₁L_cd（v₂－v₁）/R
金属框所受安培力F＝2B₁IL_cd
由牛顿定律得：F－mg－F_f＝ma
即4B₁²L_cd²（at－v₁）/R－mg－F_f＝ma
解得：v₁＝at－（mg＋ma＋F_f）R /4B₁²L_cd²＝3.9m/s
金属框中感应电流为：I＝2B₁L_cd（at－v₁）/R＝1.44×10⁴A
金属框中的电功率为：P₁＝I²R＝2.07×10⁵W
电梯上升高度为h＝v₁²/2a＝5.07m
上升时间为t"＝v₁/a＝2.6s
外界提供的总能量为E＝mgh＋F_fh＋mv₁²＋P₁t"＝8.3×10⁵J