题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L．M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．导轨和金属杆的电阻可忽路．让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，经过足够长的时间后，金属杆达到最大速度v_m，在这个过程中，电阻R上产生的热量为Q．导轨和金属杆接触良好，它们之间的动摩擦因数为μ且μ＜tanθ．已知重力加速度为g．
（1）求磁感应强度的大小；
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到v₁（v₁＜v_m）时，求此时杆的加速度大小；
（3）求金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度．

答案

（1）当ab匀速运动时，金属杆的受力图如图所示（从前向后看的视图）：图中F_f为滑动摩擦力，F_N为斜面支持力，F_安为感应电流的安培力，mg为导体棒的重力．这时导体棒匀速直线运动，其所受的合力为零，则有：
  mgsinθ=F_f+F_安
  F_N=mgcosθ，
由滑动摩擦力公式：F_f=μF_N，
由安培力公式F_安=BIL，由欧姆定律I=

E

R

，由法拉第电磁感应定律得E=BLv_m，得F_安=

B2L2vm

R

解得：B=

mgR(sinθ-μcosθ) L2vm

（2）当导体棒的速度为v₁时，由牛顿第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ-BI"L=ma，
其中I"为速度时v₁时导体棒中的感应电流，I"=

BLv1

R

，
代入上式解得加速度  a=g(sinθ-μcosθ)(1-

v1

vm

)
（3）由能量守恒知，导体棒减少的重力势能，转化为动能、内能和电能，电能通过电阻R又转化为热量．所以满足：
 mgh=

1

2

m

v

2m

+W′+Q，其中W"为克服摩擦力做的功，
W′=μFN?

h

sinθ

，F_N=mgcosθ，
解得金属棒下降的高度为  h=

m v 2m +2Q

mg(1-μcotθ)

答：
（1）磁感应强度的大小为

mgR(sinθ-μcosθ) L2vm

；
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到v₁（v₁＜v_m）时，此时杆的加速度大小为g(sinθ-μcosθ)(1-

v1

vm

)；
（3）金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度为

m v 2m +2Q

mg(1-μcotθ)

．