题目

题型：0110 模拟题难度：来源：

如图甲所示，两平行金属板A、B的板长l＝0.20 m，板间距d＝0.20 m，两金属板间加如图乙所示的交变电压，并在两板间形成交变的匀强电场，忽略其边缘效应。在金属板右侧有一方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其左右宽度D＝0.40 m，上下范围足够大，边界MN和PQ均与金属板垂直，匀强磁场的磁感应强度B＝1.0×10^－2 T。现从t＝0开始，从两极板左端的中点O处以每秒钟1 000个的速率不停地释放出某种带正电的粒子，这些粒子均以v₀＝2.0×10⁵ m/s的速度沿两板间的中线OO′射入电场，已知带电粒子的比荷＝1.0×10⁸ C/kg，粒子的重力和粒子间的相互作用都忽略不计，在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变。求：
（1）t＝0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离；
（2）在电压变化的第一个周期内有多少个带电的粒子能进入磁场；
（3）何时由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长？最长时间为多少？（π≈3）

答案

解：（1）t＝0时刻电压为零，粒子匀速通过极板
由牛顿第二定律Bqv₀＝
得：r＝＝0.2m＜D
所以出射点到入射点的距离为s＝2r＝0.4m
（2）考虑临界情况：粒子刚好不能射出电场
对类平抛过程：y＝at²＝，a＝，l＝v₀t
联立解得U₀＝＝400 V
当|u_AB|＜U₀时，粒子可以射出电场，根据比例关系得
第一个周期内能够出射的粒子数为n＝×1 000×T＝3 200个
（3）当粒子向下偏转，出射后恰好与磁场右边界相切时，粒子在磁场中的圆心角最大，时间最长。设粒子在电场中的偏转角为θ：则
＝tanθ，v＝
磁场中圆周运动：Bqv＝
几何关系r＋rsinθ＝D
联立得：＝1＋sinθ＝
代入数据解得：sinθ＝0.6，即θ＝37°
又因为v_y＝·t＝v₀tan37°，l＝v₀t
解得：U＝300 V
所以对应的入射时刻为t＝4n＋0.6（s）或t＝4n＋1.4（s）（n＝0、1、2…）
在磁场中运动的最长时间为Δt＝T＝≈4.2×10^－6 s